吉布斯现象的原因有哪些

吉布斯現象Gibbs phenomenon(又叫吉布斯效應): 将具有不連續點的周期函數(如矩形脈沖)進行傅立葉級數展開後，選取有限項進行合成。下面生活日記小編爲大家介紹吉布斯現象的原因，希望對大家有幫助。

我們在“深入淺出的學習傅裏葉變換”時曾了解到，數學界有過一場“正弦曲線能否組合成一個帶有棱角的信號”的偉大争議，而這場争議的男主角自然就是傅裏葉和拉格朗日了。當然兩位男主角都沒有錯，劇情也告一段落。

直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個諧波分析儀， 當他測試方波時驚訝的發現方波的XN(t)在不連續點附近部分呈現起伏，這個起伏的峰值大小似乎不随N增大而下降!于是他寫信給當時著名的數學物理學家吉 布斯，吉布斯檢查了這一項結果，随機發表了他的看法：随着N增加，部分起伏就向不連續點壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現象。

圖像的傅裏葉變換 ，由于其變換本身有多種成熟的快速算法(FFT算法)，而且性能接近于最佳，從而獲得較早的也比較廣泛的研究。它的不足之處在于 :相鄰子圖像數據在各個邊界不連續造成的所謂Gibbs現像。這是由于圖像數據的二維傅裏葉變換實質上是一個二維圖像的傅立葉展開式。當然這個二維圖像應被認爲是周期性的。由于子圖像的變

變換系數在邊界不連續 ，而将造成複原的子圖像在其邊界也不連續 。于是由複原子圖像構成的整幅複原圖像将呈現隐約可見的以子圖像尺寸爲單位的方塊狀結構，影響整個圖像質量 。當子圖像尺寸較小時更爲嚴重。

吉布斯現象的含義是：一個不連續信號X(t) 的傅裏葉級數的截斷近似XN(t)，一般來說，在接近不連續點處将呈現高頻起伏和超量，而且，若在實際情況下利用這樣一個近似式的話，就應該選擇足夠大的 N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個不連續的信號(如方波)的傅裏葉級數表示是收斂的。

出現吉布斯現象其實是由于傅裏葉變換本身有很多成熟的快速算法(如FFT)，而且性能接近最佳，但它由于圖像數據的二維傅裏葉變換實 質上是一個二維圖像的傅裏葉展開式，當然這個二維圖像被認爲是周期性的。由于子圖像的變換系數在邊界上不連續，而将造成的複原子圖像也在其邊界上不連續。 于是由複原子圖像構成的整幅複原圖像将呈現隐約可見的以子圖像尺寸爲單位的方塊狀結構，影響整個圖像質量。這就是爲什麽傅裏葉變換在分析方波時在其不連續 點上出現吉布斯現象的原因了。